Regelungstechnik ist ein Teilgebiet der Automatisierungstechnik und eine Ingenieurwissenschaft, die die in der Technik vorkommenden Regelungsvorgänge behandelt. Ein technischer Regelvorgang ist eine gezielte Beeinflussung von physikalischen, chemischen, oder anderen Größen in technischen Systemen. Die Größen sind entweder möglichst konstant zu halten (
Festwertregelung) oder so zu beeinflussen, dass sie einer vorgegebenen zeitlichen Änderung folgen (
Folgeregelung).
Bekannte Anwendungen im Haushalt sind die Konstanttemperaturregelung der Raumluft (Heizungsregelung), des Bügeleisens oder der Luft im Kühlschrank. Mit dem Tempomat wird die Fahrgeschwindigkeit im Kraftfahrzeug konstant gehalten. Eine Folgeregelung ist im Allgemeinen technisch anspruchsvoller, beispielsweise die Kursregelung mit einem Autopilot in der Schifffahrt, in der Luftfahrt oder in der Raumfahrt.
Regelung bedeutet Messen der zu beeinflussenden Größe (Regelgröße) und ein kontinuierlicher Vergleich mit dem gewünschten Wert. Der Regler errechnet entsprechend der Abweichung eine Stellgröße, die so auf die Regelgröße einwirkt, dass sie die Abweichung minimiert und die Regelgröße ein gewünschtes Zeitverhalten annimmt.
Im Gegensatz zur Regelung fehlt bei der Steuerung die Rückkopplung der Ausgangsgröße auf den Eingang. Wenn aber bei der Kommunikation zwischen Mensch und Maschine auf Grund einer angezeigten Ausgangsgröße die Eingangsgröße verändert wird, so findet eine Regelung mit dem Menschen als Regler statt.
Ein gegebener dynamischer Prozess (Regelstrecke) lässt sich durch eine experimentelle Systemanalyse mittels geeigneter Testsignale und Messung der Systemantwort näherungsweise als mathematisches Modell ermitteln. Unter Beachtung der Regelkreis-Entwurfsstrategien erfolgt gegebenenfalls die Regelkreissimulation am Computer und nachfolgend bei der Inbetriebnahme der Praxistest des Regelkreises mit der Regler-Optimierung.
Der vorliegende Artikel ist eine Zusammenfassung der wichtigsten Grundlagen der Systemdefinitionen, Entwurfsstrategien, Stabilitätseigenschaften, Systemanalysen und Berechnungsmethoden der Regelungstechnik.
Geschichte der Regelungstechnik
{| class="wikitable" style="center"
|- class="hintergrundfarbe5"
! colspan="3" style="text-align: center"| Tabelle der historischen Ereignisse der Regelungstechnik
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|- class="hintergrundfarbe5"
! Jahr || Forscher
Mathematiker ||Historische Ereignisse
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| 300
v. C.|| Ktesibios aus Alexandria
Philon von Byzanz || Wasserkanäle, Kombinierte Saug- und Druckpumpe, Wasserorgel, Wasserstandsregler
|-
|200
v. C. ||Vermutlich Archimedes||Mechanismus von Antikythera: Kalendarisch-astronomischer Zahnräder-Rechenmechanismus aus der Antike
|-
| 1. Jahr-
hundert || Heron von Alexandria || Heronsbrunnen Füllstandsregelung
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| ca. 1770 || Leonhard Euler || Differential- und Integralrechnung u. a. mit Differenzengleichungen, Wegbereiter der numerischen Berechnung, Eulersches Polygonzugverfahren, Euler-Gleichungen.
|-
| ca. 1780 || Pierre-Simon Laplace || Systembeschreibungen mit Hilfe der Laplace-Transformation, Laplace-Gleichung, Laplace-Operator.
|-
| 1782 || James Watt || Beginn der Industriellen Revolution, Konstruktion einer Dampfmaschine
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| 1788 || James Watt || Fliehkraftregler für Windmühlen und Dampfmaschinen
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| 1868 || James Clerk Maxwell || Systembeschreibung verschiedener Regler durch Differentialgleichungen
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| 1895 || Adolf Hurwitz || Stabilitätskriterium in Abhängigkeit vom Nennerpolynom, Hurwitzpolynom
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| 1922 || Nicolas Minorsky || Schiffsteuerung mit PID-Regelung bei der US-Navy
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| 1932 || Harry Nyquist || Stabilitätskriterium basierend auf der Ortskurve des Frequenzgangs
|-
| 1938 || Hendrik Wade Bode || Frequenzganganalyse (Bodediagramm)
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| 1942 || Ziegler / Nichols || Einstellregeln für P-, PI- und PID-Regler
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| 1942 || Norbert Wiener || Modelle der Prädiktion (Vorhersage), Modelle der Flugbahn von Flugzeugen; Automatische Zielsteuerung.
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| 1944 || Hermann Schmidt || Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in Deutschland an der TH Berlin-Charlottenburg
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| 1947 || Norbert Wiener || Schöpfer des Begriffs Kybernetik. Unter anderem wird hier der Rückkoppelungsmechanismus in technischen und biologischen Systemen untersucht. Ein weiterer grundlegender Begriff hierzu ist Kommunikationstheorie.
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| 1948 || Walter Richard Evans || Wurzelortskurve
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| 1955 || Heinrich Kindler || Erstes Institut für Regelungstechnik im deutschsprachigen Raum an der TH Dresden
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| 1957 || Winfried Oppelt || Erster Lehrstuhl für Regelungstechnik in der Bundesrepublik Deutschland an der TH Darmstadt
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| 1960 || Rudolf Kálmán || Kalman-Filter, Zustandsraumdarstellung
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| 1962 || Richard Bellman || Optimalitätsprinzip von Bellman Dynamische Programmierung, Bellman-Algorithmus
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| 1965 || Lotfi Zadeh || Fuzzy-Set-Theorie als unscharfe Mengenlehre entwickelt (University of California, Berkeley). In Japan als Fuzzy-Logik für Fuzzy-Regler (Controller) seit 1980er Jahren in industriellen Prozessen eingesetzt, in Europa seit den 1990er Jahren.
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| 1974 || Günther Schmidt || Erster deutscher Universalregler auf Mikroprozessor-Basis (Digitalregler) an der TU München (gemeinsam mit H. Birk)
|}
Historisch ausgeführte Regelungen
Das Prinzip der Regelung wurde schon von Mechanikern in der Antike angewendet. Nachgewiesen sind Einrichtungen zur Regelung von Flüssigkeits-Niveaus, die Ktesibios aus Alexandria und sein Schüler Philon von Byzanz erfanden. Ktesibios regelte den Wasserstand in einem Behälter, aus dem eine Einlaufwasseruhr mit Wasser versorgt wurde.
12 Der Wasserzufluss von konstanter Höhe
herab ist gleichmäßig und erhöht die Genauigkeit der Uhr. Von Phylon ist eine Öllampe bekannt geworden (siehe Abbildung), in der das Öl automatisch auf gleichem Niveau gehalten wurde. Das konstante Ölniveau verbesserte den gleichmäßigen Brand der Flamme, ein Luxus, auf den man verzichten könnte und bei heutigen Öllampen auch verzichtet. Der Aufwand war aber klein, obwohl es sich um eine vollwertige Regelung handelte.
Danach wurde das Prinzip der Regelung erst wieder in der Neuzeit aufgegriffen. Im 17. Jahrhundert entstand die erste Temperaturregelung, die der Niederländer Cornelis Jacobszoon Drebbel in einem Brutkasten für Hühnereier entwarf.
3 1681 erfand der Franzose Denis Papin eine einfache Druckregelung für einen Dampfkochtopf durch Einbau eines Überdruckventils.
Der erste in Serie hergestellte Regler war der Fliehkraftregler, dessen Erfindung James Watt fälschlicherweise zugeschrieben wird (siehe Abbildung, oben). Der Fliehkraftregler wurde vorher schon an Windmühlen verwendet. Watt hat die 1769 von Thomas Newcomen erfundene Dampfmaschine im Jahr 1786 mit einem solchen Regler ausgerüstet. Für die neue Dampftechnik kam auch die aus der Antike bekannte Wasserstandsregelung mit Schwimmer durch den Russen Ivan Polzunov zur Anwendung. Der Schwimmer beeinflusste über ein Gestänge das Wasser-Einlassventil des Dampfkessels.
Die Technik der selbsttätigen Regelung blieb lange Zeit auf die Anwendung in Kraftmaschinen beschränkt. Eine erste Ausweitung erstreckte sich auf die Regelung von Größen in verfahrenstechnischen Prozessen, vor allem von Temperaturen, Drücken und Massenströmen. Nach dem Zweiten Weltkrieg entstanden die vereinheitlichten, vielfach einstellbaren elektrischen, hydraulischen und pneumatischen PID-Regler. Die pneumatischen PID-Regler werden in der Verfahrenstechnik bevorzugt, da von ihrer Hilfsenergiequelle Luftdruck keine Brandgefahr ausgeht.
In der jüngsten Vergangenheit hat sich die Anwendung der Regelungstechnik auf alle Gebiete der Technik ausgedehnt. Anstöße gaben die Ausweitung der Automatisierung, zum Beispiel mit Hilfe von Robotern, und die neue Weltraumtechnik. Die Regelungstechnik ist inzwischen eine Symbiose mit der Informationstechnik (sowohl Hard- als auch Software) eingegangen.
Definition Steuerung und Regelung
; Naturphänomen Regelung
Das Regelungsprinzip ist keine Erfindung des Menschen, sondern ein Naturphänomen.
* Beispiel Erdklima
Erdgeschichtlich gesehen, ist die globale Luft-Durchschnittstemperatur in Erdbodennähe (Meereshöhe) seit vielen Millionen Jahren relativ konstant. Das Regelungsprinzip für den schmalen Temperaturbereich als Klima-Voraussetzung des höher entwickelten biologischen Lebens kommt in der Natur zur Anwendung, wenn z. B. durch eine steigende Lufttemperatur die globale Wasser-Oberflächentemperatur der Weltmeere steigt und durch Wasserdampf mit Wolkenbildung die Sonneneinstrahlung reduziert. Dabei greifen zahlreiche langfristige und kurzfristige Störgrößen zur Klimaveränderung ein:
* langfristige Störgrößen:
Abstand Erde-Mond vergrößert sich (Gezeitenänderung), Meeresströme ändern ihre Richtung, Erdkontinentalplatten wandern (Kontinentaldrift), Erdmagnet-Pole wandern.
* Erdgeschichtlich kurzfristige Störgrößen:
Starker Vulkanismus führt zur Abkühlung, große Meteoriteneinschläge führen zu Abkühlung oder im Extremfall zur Erdoberflächenverbrennung, Perioden geringer Sonnenaktivitäten (Sonnenflecken) bewirken eine leichte Abkühlungen (Kleine Eiszeit umstritten!).
Biologisch: Algenwachstum und Eisendüngung (als Kohlenstoffbindung zur Kohlendioxid-Reduzierung: umstritten!), Abholzung der Wälder, Verbrennen fossiler Brennstoffe und erhöhter Methanausstoß (Siehe Alkane) führen zum Treibhauseffekt.
* Beispiel: Biologische Systeme und Geologie
Die Gaia-Hypothese wurde von der Mikrobiologin Lynn Margulis und dem Chemiker, Biophysiker und Mediziner James Lovelock Mitte der 1960er-Jahre entwickelt. Sie besagt, dass die Erde und ihre gesamte Biosphäre wie ein Lebewesen betrachtet werden kann.
* Beispiel: 'Regelungsvorgänge der lebenden Natur
Bei Tieren als Warmblüter: geregelte Körpertemperatur und geregelter Blutdruck, Pupillenöffnung reagiert auf Lichteinfall, aufrechter Gang bei Zweibeinern.
Das Hase-Fuchs-Population-Modell (siehe Räuber-Beute-Beziehung und Lotka-Volterra-Regeln) als Beispiel für das biologisches Gleichgewicht regelt eine Führungsgröße als Funktion der unterschiedlichen Nahrungsangebote auf eine annähernd feste Hase-Fuchs-Verhältniszahl.
Störgrößen: veränderte Geländeeigenschaften, Klima, Krankheit, Mensch.
; Steuerung
Bei der Steuerung eines Prozesses liegt die Ausgangsgröße y(t) der Steuerstrecke als Folge der Eingangsgröße u(t) (Stellgröße) in einer offenen Wirkungsstrecke. Wenn keine fortlaufende Rückführung der Prozess-Ausgangsgröße y(t) auf die Prozess-Eingangsgröße u(t) durchgeführt wird, handelt es sich um eine
Steuerung.
Greifen keine Störgrößen d
i(t) die Steuerstrecke an, arbeitet eine Steuerung bei gut bekannter stabiler Strecke problemlos. Sind die Störungen messbar, können sie durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden. Beispielsweise ist die Energiezufuhr für eine Heizungseinrichtung, bei der die Führungsgröße u(t) in Abhängigkeit vom Wert der Außentemperatur wirkt und damit den Raum aufheizt, eine Steuerung. Wird ein Fenster des Raumes zur kalten äußeren Umgebung geöffnet, wirkt eine Störgröße d(t), wodurch die Rauminnentemperatur sinkt.
; Definition Steuerung nach DIN ICE 60050-351:
Das Steuern, die Steuerung, ist ein Vorgang in einem System, bei dem eine oder mehrere Größen als Eingangsgrößen, andere als Ausgangsgrößen aufgrund der dem System eigentümlichen Gesetzmäßigkeiten beeinflussen. Kennzeichen für das Steuern ist der offene Wirkungsweg, oder ein geschlossener Wirkungsweg, bei dem durch die Eingangsgrößen beeinflusste Ausgangsgröße nicht fortlaufend und nicht wieder über dieselben Eingangsgrößen auf sich selbst wirken.
Vorteile der Prozess-Steuerung* Die Wirkungsabläufe sind leicht überschaubar.
* Bei Auftreten einer Störung kann manuell auf den Prozess eingewirkt werden.
* Es können kein instabiles Verhalten und keine schädigenden überhöhten Amplituden der Steuergröße durch falsch angepassten Regler auftreten.
* Eine besondere Messeinrichtung für eine Rückmeldung der Steuergröße y(t) ist nicht erforderlich.
Nachteile der Prozess-Steuerung* Nur bekannte messbare Störungen können durch geeignete Maßnahmen kompensiert werden.
* Die Steuerstrecke muss sehr gut bekannt sein, wenn eine Störungskompensation in gewünschter Weise wirksam sein soll.
* Es erfolgt keine Rückmeldung, ob die Führungsgröße u(t) durch die Ausgangsgröße y(t) erreicht wurde.
* Es besteht keine Möglichkeit, eine instabile Strecke zu stabilisieren.
RegelungIm Gegensatz zu einer Steuerung eines Prozesses wird der tatsächliche Wert des Ausgangs der Regelstrecke, die Regelgröße, fortlaufend über einen Regler mit Soll-Istwert-Vergleich auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Das Vergleichsergebnis, die Regeldifferenz, nähert sich dabei trotz unbekannter auf die Regelstrecke einwirkender Störungen einem von den Eigenschaften des verwendeten Reglers abhängigen Minimum.
Entscheidendes Merkmal des Regelkreises ist die negative Rückkopplung (Gegenkopplung) der Regelgröße auf den Eingang des Reglers. Die positive Regeldifferenz
e(t) ist die Differenz zwischen der Führungsgröße
w(t) und dem Istwert
y(t). Sie wird von dem Regler in einen Stellwert
u(t) berechnet, der über die Regelstrecke die Regelgröße
y(t), also den Istwert der Regelgröße, beeinflusst. Dadurch nähert sich entsprechend dem Zeitverhalten der Regelstrecke und des Reglers die Regelgröße der Führungsgröße an.
Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich des statischen und dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.
Vorteile der Regelung: * Auftretende bekannte und unbekannte nicht messbare Störungen werden eliminiert.
* Eine größere Verstärkung kann die Regelstrecke schneller machen, solange keine Stellgrößenbegrenzungen und keine Instabilitäten auftreten.
* Für die Systemanalyse eines Regelkreises sind auch angenäherte Modelle der Regelstrecke ausreichend.
* Monoton instabile Regelstrecken können durch Einbindung in einen Regelkreis stabilisiert werden.
Nachteile der Regelung: * Der Regelkreis kann durch ungewollte, z. B. durch Alterung und Verschleiß bedingte Parameteränderungen instabil werden.
* Genaue und schnelle Messungen der Regelgröße können kostenintensiv sein.
* Heuristische Optimierungsverfahren wie "Versuch und Irrtum" reichen bei anspruchsvollen Regelungen nicht aus. Qualifizierte Fachleute sind erforderlich.
Normen der RegelungstechnikDie DIN 19226 für die Definition regelungstechnischer Begriffe ist nicht mehr gültig.
Die Norm IEC 60050-351 Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – Teil 351: Leittechnik legt Grundbegriffe der Leittechnik fest, unter anderen auch
Prozess und
Leiten. Sie ersetzt in Deutschland als DIN-Norm DIN IEC 60050-351 und die DIN V 19222:2001-09.
Nach DIN ICE 60050-351 lautet der Begriff für die Regelung wie folgt:
Grundstruktur des Regelkreises
Die Regelgröße
y wird mit der Führungsgröße (Sollwert)
w verglichen. Die Regelabweichung
e =
w –
yM wird dem Regler zugeführt, der daraus entsprechend der gewünschten Dynamik des Regelkreises eine Stellgröße
u bildet. Das Stellglied ist meistens Bestandteil des Reglers, in Einzelfällen kann es ein separates Gerät bedeuten. Die Störgröße
d wirkt meistens auf den Ausgang der Regelstrecke, sie kann aber auch auf verschiedene Teile der Regelstrecke Einfluss nehmen. Das Messglied in der Rückführung kann ein Zeitverhalten haben, das bei schnellen Regelstrecken zu berücksichtigen ist.
Für die gewollte Minimierung der Regelabweichung hängt die Polarität der Regelabweichung nicht nur von der Führungsgröße und den Störgrößen ab, sondern auch von der Wirkungsrichtung der Regelstrecke.
Eine positive Regelabweichung führt über die Verstärkung des Reglers nur dann zu einer positiven Zunahme der Regelgröße, wenn die Regelstrecke zur Reduzierung der Regelabweichung einen positiven Stellwert benötigt.
Handelt es sich bei einer Regelstrecke z. B. um eine Heizung, so führt ein positiver Stellwert zu einer steigenden Temperatur.
Handelt es sich bei der Regelstrecke z. B. um ein Kühlaggregat, so führt ein positiver Stellwert zu einer fallenden Temperatur. Ein solcher Fall ist in einem Blockschaltbild des Regelkreises durch eine Vorzeichenumkehr der Stellgröße zu kennzeichnen.
Aufgabe des ReglersDie Aufgabe des Reglers besteht gewöhnlich darin, die Regelgröße der Führungsgröße möglichst gut anzunähern und den Einfluss von Störgrößen zu minimieren.
Eine der Regelstrecke nicht angepasste zu hohe Kreisverstärkung führt bei Regelstrecken mit Verzögerungsgliedern ab 3. Ordnung oder gar mit Totzeitverhalten zur oszillatorischen Instabilität. Bedingt durch das Zeitverhalten der Regelstrecke wird über den Soll-Istwert-Vergleich dem Regler eine verspätete Regeldifferenz zugeführt. Reduziert sich diese nacheilende Phasenverschiebung der Regelgröße des offenen Regelkreises um einen Wert kleiner als -180°, ergibt sich am Soll-Istwert-Vergleich anstelle einer Gegenkopplung eine Mitkopplung und der geschlossene Regelkreis wird bei einer Kreisverstärkung > 1 instabil.
Die Führungsgröße w(t) kann als fester Sollwert, als programmgesteuerte Sollwertvorgabe oder als kontinuierliches, zeitabhängiges Eingangssignal mit besonderen Folgeeigenschaften für die Regelgröße ausgelegt sein.
Typische Regelkreis-EntwurfsstrategieSie bezieht sich bei linearen Systemen durch differenziell wirkende Teilsysteme des Reglers auf die Reduzierung des Zeitverhaltens der Regelstrecke. Je geringer die Zeitverzögerungen der Regelstrecke sind, umso höher kann die Kreisverstärkung gewählt werden.
Eine hohe Kreisverstärkung macht den Regelkreis schnell, kann aber selten realisiert werden, weil die Stellgröße wegen Energiemangel oder natürlicher Anschläge nicht unbegrenzt wachsen kann. Eine geringere P-Verstärkung in Verbindung mit einer integral wirkenden Komponente des Reglers machen den Regelkreis für alle statischen Einflüsse zwar genauer, aber auch langsamer.
Das bei Regelstrecken höherer Ordnung unvermeidliche periodisch gedämpfte Einschwingverhalten der Regelgröße - als Funktion der steigenden Kreisverstärkung - wird durch den Begriff der Regelgüte definiert.
Regelkreis-Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen SystemenDie Entwurfsstrategie bei gemischten linearen und nichtlinearen Systemen bezieht sich auf Modelle wie z. B. das Hammerstein-Modell, bei dem eine statische Nichtlinearität in Verbindung mit einem dynamischen linearen System zusammen wirkt. Das Verhalten unstetiger nichtlinearer statischer Regler in Verbindung mit linearen Regelstrecken kann mit dem Verfahren der harmonischen Balance behandelt werden.
Regler in Verbindung mit Regelkreisen mit nichtlinearen und linearen Komponenten lassen sich sinnvoll mit der numerischen Mathematik berechnen.
Zur Bestimmung des Systemverhaltens der Regelstrecke und des Reglers sind verschiedene Analysemethoden und mathematische Verfahren üblich. Die Grundlagen der mathematischen Behandlung der Regelungstechnik folgt in den nachstehenden Kapiteln.
Als einfaches, anschauliches Beispiel für einen Standardregelkreis soll hier die Regelung einer Raumtemperatur auf Grundlage einer Warmwasser-Zentralheizung und deren Gerätekomponenten dienen.
Beispiel der Heizungsregelung eines Gebäudes
Gasheizkessel, Ölheizkessel und Feststoffheizkessel gewinnen die Wärmeenergie aus der Verbrennung meist fossiler Brennstoffe und transportieren die Wärmeenergie über den Wärmeträger Wasser. Ein über eine Brennkammer erhitzter Heizkessel ist mit Hilfe einer Heizungspumpe an einen Warmwasserkreislauf mit Heizkörpern angeschlossen.
Die Wärmeenergie des Heizkörpers erwärmt die umgebende Raumluft durch Konvektion und Strahlung. Die Wärmeenergie mit dem Temperaturgefälle zwischen Heizkörper und Raumtemperatur fließt je nach Größe der Außentemperatur über die Fenster, Türen, Raumwände und Außenisolierung an die Außenwitterung ab.
Kommerziell werden zahlreiche unterschiedliche Heizkörperformen mit unterschiedlichen Wärmeabgabeverhalten bezüglich Konvektion und Strahlung angeboten. Die bekannteste ältere Heizkörperart ist der Rippenheizkörper aus Gusseisen.
Dezentrale RaumtemperaturregelungDie an das Gebäude abgegebene Wärmeenergie ist durch die Differenz der Vorlauf- und Rücklauftemperatur am Heizkessel gegeben. Alle Heizkörper der Räume eines Gebäudes erhalten die gleiche meist nach der Außentemperatur gesteuerte Vorlauftemperatur. Die Heizkörper sämtlicher Räume sind mit Thermostatventilen ausgestattet.
Ziel ist das selbsttätige Halten der Raumtemperatur als Regelgröße auf einem gewünschten Sollwert. Am Thermostatventil wird die gewünschte Solltemperatur des Raumes eingestellt. Das Ventil verändert den Warmwasserstrom durch den Heizkörper und damit die Raumtemperatur. Der Sensor des Thermostatventils misst die aktuelle Zimmertemperatur
(Theta) und verändert die Ventilstellung.
In der vereinfachten grafischen Darstellung der Heizungsregelung eines Wohnhauses bedeutet die Funktion der Gegenkopplung, dass eine zu hohe Raumtemperatur über das Thermostat zum Schließen des Heizungsventils des Heizkörpers führt.
Das Thermostatventil ist eine Geräteeinheit und besteht aus dem Sensor, Regler und Aktor. Durch Drehen des Thermostates innerhalb des Bereiches einer Skala wird ein Temperatur-Sollwert vorgegeben. Die spezielle Flüssigkeit des Temperatursensors im Thermostatventil dehnt sich bei Erwärmung über die Temperatur der Raumluft aus und bildet den Istwert. Diese Dehnung wird direkt auf den Ventilhub als Stellgröße übertragen (Regler). Bei zu hoher Raumtemperatur verringert sich der Warmwasserstrom durch den Heizkörper und die Raumtemperatur sinkt.
Das Thermostatventil erlaubt keinen Eingriff auf den Regler und damit auf das zeitliche Regelverhalten. Durch die unmittelbare Nähe zwischen Messort und Heizkörper ergibt sich eine leicht zu regelnde Regelstrecke, so dass ein Thermostatventil problemlos bei verschiedenen Gebäuden für die Raumtemperaturregelung innerhalb eines Warmwasserkreislaufes eingesetzt werden kann.
Alternativ stehen auch geeichte Thermostate als eine kompakte Einheit in elektronischer Ausführung zur Verfügung, die auf das gleiche Ventil am Heizkörper wirken. Sie benötigen eine handelsübliche Batterie als Hilfsenergie.
Hauptregler für den ReferenzwohnraumNeben der dezentralen Temperatur-Regelung der Wohnräume mit Thermostatventilen ist bei modernen Heizungsanlagen ein Referenzwohnraum (auch Pilotraum, Führungsraum, größter Wohnraum) eingerichtet, bei dem ein zentraler hochwertiger Hauptregler über einen Raumtemperatur-Sollwertgeber und einen Referenzraum-Temperaturfühler die Vorlauftemperatur für den gesamten Warmwasserkreislauf des Gebäudes zentral vorgibt und die Referenzraum-Temperatur regelt.
Die Temperaturunterschiede zwischen den Heizkörpern und der kühleren Raumluft erzeugen Luftbewegungen (Konvektion) und zum geringeren Anteil Strahlungsenergie, die auf den Messfühler einwirken. Der Regler erhöht je nach Bedarf durch Einschalten des Brenners die Heizkörpertemeratur oder senkt sie gegebenenfalls durch Ausschalten des Brenners.
Für die Güte einer Regelung der Raumtemperatur sind auch die konstruktiven Raumbedingungen und Geräteanordnungen wie Heizkörper und Abstand des Messortes der Raumtemperatur maßgebend. Man kann nicht in einem langgestreckten Raum erwarten, dass durch einen Heizkörper mit dem im Abstand von 10 cm befindlichen Thermostat sich eine gleichmäßige Raumtemperatur über den ganzen Raum einstellt. Andererseits bedeutet ein großer Abstand zwischen Heizkörper und Messort der Raumtemperatur, dass sich eine größerer Signallaufzeit (Totzeitverhalten) bildet.
Üblich ist die Montage des Messfühlers im Referenzwohnraum an der gegenüberliegenden Wand der Heizkörperebene. Der Messfühler misst die Lufttemperatur, nicht die Innenwand-Temperatur. Die Heizkörper des Referenzwohnraumes erhalten keine Thermostatventile.
Darstellung der Signalbezeichnungen des Regelkreises
Anmerkung: In der aktuellen deutschen Fachliteratur sind die regelungstechnischen Signalbezeichnungen nicht den bis 2009 gültigen DIN-Normen entnommen, sondern stammen vermutlich aus den Darstellungen von Signalflussplänen dynamischer Systeme des Zustandsraumes. Diese aus den USA von dem Mathematiker und Stanford-Universitätslehrer Rudolf Kálmán stammende Theorie und die damit verbundenen Signalbezeichnungen sind seit den 1960er Jahren unverändert.
Einige Fachbücher der Regelungstechnik zeigen für die Darstellung von Signaleingängen und Signalausgängen von Übertragungssystemen auch die Bezeichnungen XA (Ausgangsgröße) und XE (Eingangsgröße).
{| class="wikitable" style="width:680px;"
|- class="hintergrundfarbe5"
! style="width:25%;"|Bezeichnung
! style="width:5%;"|Aktuelle Zeichen
! style="width:5%;"|Zeichen nach DIN
! style="width:100%;"|Bedeutung allgemein und im Beispiel
(Raumtemperatur-Regelung mit Thermostatventil)
|-
| style="text-align: center; " |Regelstrecke || style="text-align: center; " |G
S(s) || ||
* Prozess, dessen Ausgangsgröße geregelt wird,
* Heizkessel mit Warmwasserkreislauf zum Heizkörper,
Raumlufterwärmung mittels Heizkörper.
|-
| style="text-align: center; " |
Störgrößen || style="text-align: center; " |
d || style="text-align: center; " |
z ||
* Fremdeinflüsse greifen die Regelstrecke an,
* z. B. Außentemperatur, Fensterstellung (geschlossen bis offen), Sonneneinstrahlung, Wind, Niederschläge.
|-
| style="text-align: center; " | Regelgröße || style="text-align: center; " |
y || style="text-align: center; " |
x ||
* geregelte Prozess-Ausgangsgröße,
* z. B.: Raumtemperatur.
|-
| style="text-align: center; " | Messglied || || ||
* Ausführungen: Thermoelement, Wärmewiderstand, Druckmessdose, Kraftmessdose,
* Thermostat: Dehnstoffelement im Thermostatventil.
|-
| style="text-align: center; " | Messgröße || style="text-align: center; " |
yM || style="text-align: center; " |
yM ||
* Signal: elektr. Spannung oder Konstantstromquelle,
* Thermostat: Ausdehnung des Dehnstoffelementes.
|-
| style="text-align: center; " | Führungsgröße || style="text-align: center; " |
w || style="text-align: center; " |
w ||
* Dynamisches Signal als Eingangsgröße des Regelkreises (Stationär auch = Sollwert),
* Thermostat: Einstellwert auf der Skala.
|-
| style="text-align: center; " |Sollwert || || ||
* Bestimmter Wert der Führungsgröße,
zum Beispiel 20 °C.
|-
| style="text-align: center; " | Istwert der Regelgröße || style="text-align: center; " | y || style="text-align: center; " | x ||
* Allgemein ein stationärer Wert der Regelgröße,
zum Beispiel 21 °C (= Regelabweichung 1 °C).
|-
| style="text-align: center; " | Regelabweichung || style="text-align: center; " |
e=
w -
y || style="text-align: center; " |
e=
w -
x ||
* Eingangsgröße des Reglers.
|-
| style="text-align: center; " | Regler || style="text-align: center; " | G
R(s) || ||
* Arten: stetige, unstetige, analoge, digitale und speziell ausgeführte (z. B selbstanpassende) Regler,
* Thermostat: Dehnstoffelement.
|-
| style="text-align: center; " |Steuergröße || style="text-align: center; " |
u || style="text-align: center; " |
y ||
* Ausgangsgröße einer Steuerung,
* Position des Übertragungsstiftes am Dehnstoffelement (Übertragung auf das Ventil).
|-
| style="text-align: center; " |Stellglied || || ||
* Regler-Ausgangsgröße und Schnittstelle Regler / Regelstrecke,
* Thermostat: Ventil im
Thermostatventil.
|-
| style="text-align: center; " |Stellgröße || style="text-align: center; " |
uR || style="text-align: center; " |
uR ||
* Ausgangsgröße des Reglers oder einer Steuereinrichtung,
* Thermostat: Stellung des Ventils (geschlossen bis offen)
|}
Definition Wärmeenergie
Umgangssprachlich wird die thermische Energie etwas ungenau als „Wärme“ oder „Wärmeenergie“ bezeichnet. Die thermische Energie E
th eines Stoffes ist definiert als
wobei c die spezifische Wärmekapazität, m die Masse und T die absolute Temperatur ist. Diese Definition setzt voraus, dass der Stoff sich innerhalb seines Aggregatzustandes befindet. Für Wasser gilt der flüssige Zustand im Temperaturbereich von 0
(+) °C bis 100
(-) °C bei Normaldruck in Meereshöhe.
Eine Wärmezufuhr steigert die mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die thermische Energie eines Stoffes, eine Wärmeabfuhr verringert sie.
Kommen zwei thermische Energie-Systeme mit unterschiedlichen Temperaturen zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen durch Wärmeaustausch an. Diese Angleichung erfolgt so lange, bis keine Temperaturdifferenz zwischen den Systemen mehr auftritt. Diesen Vorgang bezeichnet man als Wärmeübertragung
Ohne zusätzliche Hilfe (Energie) kann niemals thermische Energie vom System niedrigerer Temperatur in das System höherer Temperatur überführt werden.
Der Wärmefluss oder Wärmestrom ist eine physikalische Größe zur quantitativen Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen.
Als Grenzfläche oder Phasengrenze wird in der Physik und Materialwissenschaft die Fläche zwischen zwei Phasen (hier Phase = räumlicher Bereich der Materie Zusammensetzung wie Dichte der homogenen Materie) bezeichnet. Als Grenzflächen werden die Flächen zwischen flüssigen und festen, flüssigen und flüssigen, festen und festen und festen zu gasförmigen Phasen bezeichnet.
Alternative stetige und unstetige Regelung
Zur Regelung der Referenzraumtemperatur bieten sich zwei Wege als stetige oder nichtstetige Regelung an:
Die Änderung der Außentemperatur ist in der Regel als statische Störgröße zu betrachten, weil das Zeitverhalten sehr langsam im Verhältnis zur Änderung der Vorlauftemperatur ist. Erst wenn die Änderung der Außentemperatur sich über die Außenisolierung und über die Masse der Gebäudewände am Messfühler des Referenzraumes bemerkbar macht, kann der Heizungsregler reagieren.
Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann konventionell meist über digitale Regler erfolgen, die an die Regelstrecke des Warmwasserkreislaufes angepasst werden müssen.
Häufig werden industriell gefertigte Heizungskessel mit digitalen Reglern mit Anwendung der Fuzzy-Logik ausgeführt. Die Grundidee der Fuzzy-Controllers bezieht sich auf die Einbindung des Expertenwissens mit linguistischen Begriffen, durch die der Fuzzy-Controller mehr oder weniger mit empirischer Methodik optimal an einen nichtlinearen Prozess mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen modelliert wird, ohne dass das mathematische Modell des Prozesses (Regelstrecke) vorliegt.
Vereinfacht ausgedrückt entspricht die Anwendung der Fuzzy-Logik der menschlichen Denkweise, Tendenzen des Verhaltens eines unbekannten Systems zu erkennen, vorauszusehen und dem ungewollten Verhalten entgegenzuwirken. Diese Handlungsweise wird in sogenannten „WENN-DANN-Steuerregeln“ einer Regelbasis festgelegt.
Verfahren der stetigen und unstetigen Regelung:
* Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen stufenlosen Regler erfolgen, der auf ein stetig arbeitendes Mischventil (Dreiwegemischer) wirkt, das bei Wärmebedarf auf den Heizkessel zugreift. Diese Form der Regelung wird häufig in Mehrfamilien-Wohnhäusern eingesetzt.
* Die Regelung der Raumtemperatur des Referenzraumes kann über einen Zweipunktregler erfolgen.
Diese kostenminimale Variante eignet sich besonders für den intermittierenden Betrieb für das zyklische Ein-Ausschalten des Brenners.
Unstetige RegelungEin unstetiger Zweipunktregler ohne Hysterese hat Eigenschaften, die einer hohen Kreisverstärkung entsprechen. Ob sie voll genutzt werden kann, hängt von der Art der Regelstrecke ab. Dieser Regler eignet sich besonders für Regelstrecken, die in weiten Grenzen zur kontinuierlichen Leistungsanpassung im intermittierenden Betrieb (Ein- Ausschaltbetrieb) gesteuert werden müssen.
Das Verhältnis des maximalen zum augenblicklichen Wärmeenergiebedarf ist durch das Verhältnis der Einschalt- Ausschaltzeit gegeben:
Die Stellgröße des Zweipunktreglers bestimmt in Abhängigkeit von der Regelabweichung das Verhältnis der Ein- zur Ausschaltzeit. Die Reglerhysterese und Totzeitverhalten der Regelstrecke setzen die Schaltfrequenz herunter. Spezielle Rückführungen des Zweipunktreglers und Aufschaltung eines D-Anteils der Regelabweichung erhöhen die Schaltfrequenz.
Berechnung der WärmeenergieflüsseDas Verhalten der Wärmeenergieflüsse kann berechnet werden, indem durch ein Blockdiagramm mit einzelnen Funktionsblöcken das dynamische Zeitverhalten der Wärmeenergieflüsse an den sogenannten Grenzflächen (z. B. Brenner / Heizkessel, Heizkörper / Luft oder Innenwände / Außenwände / Außenwitterung) dargestellt wird. Die Funktionsblöcke entsprechen geeigneten mathematischen Modellen als System-Beschreibungsfunktionen.
Tag- und Nachtabsenkung der RaumtemperaturFür die zur Energie-Einsparung mit Hilfe der sogenannten Tag-Nacht-Absenkung der Raumtemperatur ist das Speicherverhalten der Gebäudewände und deren Isolierung von entscheidender Bedeutung. Bei konstanter niedriger Außentemperatur und längerfristiger Raumtemperaturabsenkung ist das Energie-Sparpotential groß. Bei kurzfristiger Raumtemperaturabsenkung müssen anschließend die Gebäudewände wieder aufgeheizt werden, ohne dass sich ein stationärer Temperaturzustand der Grenzflächen im Mauerwerk mit Isolierung gebildet hat, der das Energiesparen möglich macht.
4 ? Artikel Gebäudeheizung, :? Artikel Heizungsregler, :? Artikel Heizkessel
Außengeführte Vorlauftemperaturbegrenzung
Der Wärmebedarf in Wohnräumen ist im sehr kalten Winter ein Mehrfaches höher als in der Übergangszeit Herbst und Frühjahr. Deshalb wird die Vorlauftemperatur des Heizkreises mittels einer Vorsteuerung über einen Regler in Abhängigkeit von der Außentemperatur begrenzt, damit große Überschwingungen der Raumtemperatur (Regelgröße) aber auch Wärmeverluste vermieden werden.
Die Heizkörpertemperatur wird gewöhnlich nicht gemessen, sie wird aus dem Mittelwert der Vorlauftemperatur und der Rücklauftemperatur am Heizkessel erfasst. Wärmeverluste der isolierten Rohrleitungen werden vernachlässigt.
Die Kennlinie der Begrenzung der Vorlauftemperatur des Heizkreises als Funktion der Außentemperatur lässt sich bei kommerziellen Anlagen einstellen und ist abhängig von der Klimazone. Die begrenzte Vorlauftemperatur muss jeweils etwas höher liegen, als der Wert, der für den Wärmebedarf des eingestellten Referenzraum-Temperatursollwertes erforderlich ist. Die Begrenzungsregelung der Vorlauftemperatur als Funktion Außentemperatur kann durch einen einfachen Zweipunktregler erfolgen.
Störgrößen des Heizungsregelkreises
Störgrößen der Raumtemperaturregelung sind Änderungen der Wärmeenergieerzeugung durch intermittierenden Betrieb, bei dem z. B. die Auswirkungen der Schwankungen des Gasdrucks (Gasheizkessel) oder Änderung des Brennheizwertes des Heizöles (Ölheizkessel) vernachlässigbar sind.
Kurzfristig angreifende Hauptstörgrößen auf die Raumtemperatur sind offenstehende Türen oder Fenster und die Sonneneinstrahlung im Fensterbereich.
Die Hauptstörgröße einer Gebäudeheizung ist der Einfluss der Außentemperatur. Die Änderung der Außentemperatur und der Einfluss von Wind und Niederschlägen sind wegen der Wärmespeicherfähigkeit der Gebäudemasse langfristig wirkende Störgrößen.
An Regelstrecken können Störgrößen an allen Teilregelstrecken angreifen. Kurzfristige Störgrößen zeichnen einen geringen Einfluss auf den Istwert der Regelgröße, wenn sie am Eingang der Regelstrecke auftreten. Den größten Einfluss haben Störgrößen an Regelstrecken, wenn sie am Ausgang der Regelstrecke auftreten.
Die Beurteilung eines linearen Regelkreises mit einem Führungsgrößensprung wird durch die Führungsgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.
Die Beurteilung des Störverhaltens eines linearen Regelkreises an einer linearen Regelstrecke wird häufig durch einen Störsprung mit der Störgrößen-Übertragungsfunktion berechnet.
Stationäre oder sprungartige oder impulsartige Störgrößen im Regelkreis lassen sich in einem grafischen Signalflussplan durch eine Additionsstelle positiv oder negativ berücksichtigen.
Die dominanteste und in weiten Grenzen sich ändernde Störgröße der Regelstrecke einer Heizungsanlage ist der Wärmeenergie-Abfluss von der Raumtemperatur über die Gebäudewände zur Außenwitterung. Während der Einfluss einer Störgröße an einem beliebigen Regelkreis lediglich eine technische Information oder ein gefordertes bestimmtes Verhalten der Regelgröße anzeigt, bedeutet die Störgröße des Energieabflusses einer Gebäude-Temperaturregelung an die Außenwitterung ein Energie-Kostenfaktor erheblichen Ausmaßes.
Der Energieabfluss an die Außenwitterung ist unter normalen Betriebszuständen, d. h. geschlossene Fenster und Türen, abhängig:
* von der Außenwitterung, wie Außentemperatur, Sonne, Wind und Regen,
* von der Güte der Gebäudeisolierung
Je besser die Außenisolierung, um so niedriger kann die Heizkörpertemperatur für eine gegebene Außentemperatur sein.
* von der Größe der Referenzraum-Temperatur
Jedes reduziertes Grad C einer individuellen "Wohlfühl-Raumtemperatur" reduziert die Heizkörpertemperatur prozentual beträchtlich.
* von der Größe der dominanten Zeitkonstanten der drei mathematischen Teilmodelle der Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur zur Außentemperatur.
Für eine konstante Außenwitterung und einen gegebenen Sollwert der Referenzraum-Temperatur stellt sich nach genügend langer Zeit ein Gleichgewichtszustand zwischen der erzeugten Wärmeenergie und der über das Gebäude abfließenden Wärmeenergie ein.
Simulation eines Heizungsregelkreises mit Teilmodellen
Aufgabenstellung: Berechnung des zeitlichen Verhaltens der mittleren Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur eines Referenzwohnraumes für die Raumtemperatur-Sollwertvorgabe von 5 °C auf 20 °C bei einer stationären Außentemperatur von -10 °C. Wind und Niederschläge sollen sich für diesen Vorgang nicht ändern.
Der Signalflussplan der Simulation der Referenzraum-Heizungsregelung zeigt die Beziehungen der Teilmodelle.
Datenvorgabe für den HeizungsregelkreisFür eine überschlägige Berechnung des Regelvorgangs der Raumtemperatur im Referenzraum müssen Vereinfachungen und Zahlenwerte-Annahmen aus Erfahrungen getroffen werden. Folgende Daten werden gegeben:
* maximale Vorlauftemperatur: 80 °C
* Sollwert Raumtemperatur: 20 °C
* stationäre Außentemperatur: -10°C
* Abfluss der Wärmeenergie [°C], wird empirisch gemessen:
Für eine mittlere stationäre Heizkörpertemperatur von 60 °C und einer stationären Außentemperatur von -10 °C stellt sich nach genügend langer Zeit eine Raumtemperatur von 20 °C ein.
Mit diesen Angaben entspricht eine Raumtemperatur-Änderung von 1 °C dem Verhältnis der Differenzwerte der Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur mit Bezug zur Außentemperatur:
Heizkörpertemperatur = [60-(-10)] / [20-(-10)] = 2,33 °C pro 1 °C Raumtemperaturänderung
* Begrenzte mittlere Heizkörpertemperatur bei -10 °C Außentemperatur: 70 °C
* Gewählter stationärer Anfangswert der Raumtemperatur im Frostschutzmodus als Sollwert: 5 °C
* Berechneter stationärer Anfangswert der mittleren Heizkörperkörpertemperatur im Frostschutzmodus:
Für eine geforderte stationäre Referenzraumtemperatur von z. B. 5 °C, d. h. Raumtemperaturabsenkung von 15 °C, ergibt sich eine geforderte Heizkörpertemperatur von:
Heizkörpertemperatur = 60 - 2,33 · 15 = 25 °C.
Definition der Teilmodelle anhand der geschätzten DatenvorgabeFür den dynamischen Vorgang der Sollwert-Änderungen mit Bezug zur Heizkörpertemperatur, der Raumtemperatur und der Wärmeenergieabflüsse sind Anfangsbedingungen der Einzelsysteme zu berücksichtigen.
*
Teilmodell 1: Wärmeenergieerzeugung vom Brenner zur Heizkörpertemperatur Die im Brenner und Heizkessel erzeugte Wärmeenergie wird mit der Heizungspumpe als Vorlauftemperatur durch alle Rohrleitungen und Heizkörper gepumpt und erscheint wieder am Heizkessel als Rücklauftemperatur. Die mittlere Heizkörpertemperatur wird als Mittelwert der Vor- und Rücklauftemperatur angenommen.
Daten:
Tt = 4 [Minuten], TE = 60 [Minuten] bei Anstieg, TE = 100 [Minuten] bei Abfall der Heizenergie:
*
Teilmodell 2: Heizkörpertemperatur zur Raumtemperatur Die von den Heizkörpern abgegebene Wärmeenergie erwärmt die Raumluft, welche zunächst an den Fenstern und dann nach oben zur Zimmerdecke steigt und abkühlt. Dies führt über Konvektion und Strahlung zu Luftverwirbelungen, die auch nach einer Totzeit und Einschwingzeit den Raumtemperaturfühler erreichen.
Die gemessene und geregelte Referenzraumtemperatur ist nicht identisch mit der Innenwand-Temperatur, des Fußbodens und Zimmerdecke des Referenzraumes, über die (stellvertretend für alle Räume) die Wärmeenergie zur Außenwitterung abfließt.
Daten:
Tt = 10 [Minuten], TE = 200 [Minuten] bei Anstieg, TE = 300 [Minuten] bei Abfall der Heizenergie:
*
Teilmodell 3: Raumtemperatur zur Gebäudewand innen nach außen zur Außenwitterung Das mathematische Modell für die Wärmeenergie-Ableitung von der Raumluft über die Fenster und über die Gebäudewände zur Außenisolierung und zur Außenwitterung ist sehr kompliziert und wird deshalb vereinfacht.
Das Teilmodell 3 besteht aus einem statischen Teil, der die Beziehung Heizkörper-, Raum- und Außentemperatur über eine Geradengleichung wiedergibt, und einem dynamischen Teil, der die Speicherfähigkeit der Gebäudewände und Isolierung berücksichtigt.
Je nach Beschaffenheit der Masse der Raumwände (Wärmespeicherfähigkeit, Wärmeleitfähigkeit, Innen-Wärmeisolierung, Anteil Innen- und Außenwände) und des Wärmeisolierungsmaterials der Außenseite kann es sich um ein kompliziertes System höherer Ordnung mit großer dominanter Zeitkonstante handeln. Zur Vereinfachung dieses Teilmodels 3 wird als dynamisches Systemverhalten ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) mit großer Ersatzzeitkonstante gewählt.
Für die Simulation des Energieabflusses besteht mit diesen Angaben eine statische Beziehung, die durch eine Geradengleichung festgelegt werden kann.
Vereinfachtes Modell des Zeitverhaltens:
{| class="wikitable" |-
!
|}
Geht man von einem linearen Zusammenhang der Heizkörpertemperatur zur gewählten Raumtemperatur bei konstanter Außentemperatur aus, so lässt sich für verschiedene Werte der Raumtemperatur die Größe der Heizkörpertemperatur aus Geradengleichungen errechnen.
Allgemeine Geradengleichung mit X als Eingangsgröße und Y als Ausgangsgröße:
{| class="wikitable" |-
!
|}
Statische Beziehung von Teilmodell 3
Über eine Geradengleichung wird bestimmt, welcher Wert von der gefilterten Heizkörpertemperatur (= Ausgang Modell 2) als Funktion der Außentemperatur subtrahiert werden muss, damit sich die Raumtemperatur als Regelgröße ergibt.
Für die Raumtemperatur 20 °C ist die zugehörige Heizkörpertemperatur mit 60 °C gegeben. Für einen anderen Wert der Raumtemperatur kann die zugehörige Heizkörpertemperatur aus der Proportion der Temperaturdifferenzen zu -10 °C berechnet werden:
Für das statische Modell 3 wird die Differenz [Heizkörpertemperatur - Raumtemperatur] benötigt. Dieser Wert wird von dem Ausgangssignal des Modells 2 subtrahiert:
Damit ergeben sich die statische Werte für die Sollwertsprünge der Raumtemperatur die zugehörigen Werte der Heizkörpertemperatur und alle Zwischenwerte:
* Sollwert Raumtemperatur 20°C:
[Heizkörpertemperatur] - [Heizköpertemperatur - Raumtemperatur] = [Raumtemperatur] = 60-40 = 20 °C
* Sollwert Raumtemperatur 5 °C:
[Heizkörpertemperatur] - [Heizköpertemperatur - Raumtemperatur] = [Raumtemperatur] = 25-20 = 5 °C
Grafische Darstellung der Temperaturwerte der Heizungsregelung
AufgabenstellungAnhand der Teilmodelle der Regelstrecke soll der grafische Verlauf der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur vom Frostschutzmodus zum Betriebszustand berechnet und grafisch dargestellt werden.
* Für die Berechnung von Übertragungssystemen oder die Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekanntesten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
* Alternativ können lineare Systeme numerisch mit Hilfe von Differenzengleichungen berechnet werden. Nichtlineare Systeme wie der Zweipunktregler lassen sich einfach mit Hilfe von WENN-DANN-SONST-Anweisungen berechnen. Eine Berechnungsfolge bezieht sich auf eine Kette von hintereinandergeschalteten Systemen, beginnend mit dem Eingangssignal und endend mit dem Ausgangssignal. Jede Folge k bezieht sich auf die diskrete Zeit k·Δt.
Zum besseren Verständnis werden zwei Diagramme mit dem statischen und dynamischen Verhalten von Teilmodell 3 dargestellt.
* Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte ohne Wärmespeicherung der Gebäudewände (Teilmodell 3 mit T = 0).
* Grafische Darstellung des zeitlichen Verhaltens der Temperaturwerte mit Wärmespeicherung der Gebäudewände (Teilmodell 3 mit T = 500 [Minuten]).
Kritische Beurteilung der Simulationsergebnisse* Prinzipiell entsprechen die berechneten Zeitverläufe der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur realistischen Heizungsregelungen.
* Zuverlässigkeit der mathematischen Modelle
Die Simulation eines dynamischen Prozesses ist so gut wie die Güte der mathematischen Modelle der Regelstrecke.
Modell 1 (Wärmeenergieerzeugung zum Heizkörper) kann weitgehend der Realität entsprechen.
Modell 2 (Erwärmung der Raumtemperatur) ist physikalisch dem Modell 1 nachgeschaltet, kann aber nicht die Rückwirkungsfreiheit auf Modell 1 durch die größeren Zeitkonstanten garantieren. Es wirkt mehr als Tiefpassfilter 1. Ordnung auf die sägezahnförmige Änderung der Heizkörpertemperatur.
Modell 3 (Abfluss der Wärmeenergie an die Außenwitterung) subtrahiert von der Ausgangsgröße des Modells 2 den Anteil der nach außen abfließenden Wärmeenergie. Obwohl es sich bei dem Modell 3 um ein System mit verteilten Energiespeichern handelt, wird es aus Gründen einfacher Berechenbarkeit als ein System mit einem konzentrierten Energiespeicher behandelt. Damit ergibt sich die Regelgröße Raumtemperatur als Funktion der Heizkörpertemperatur und der Außentemperatur.
* Die Zeitkonstanten aller Teilmodelle sind geschätzt.
Grafische Darstellungen der TemperaturwerteZum besseren Verständnis werden die Regelvorgänge in 2 Diagrammen, statisch ohne die gespeicherte Wärmeenergie der Wände und dynamisch mit gespeicherter Energie der Wände dargestellt. Es handelt sich um das dritte Teilmodell, dessen Zeitkonstante einmal auf einen Wert für T = 0 und T = 500 gesetzt wird.
Nachfolgend wird die Simulation des Modells des Regelkreises der Gebäudeheizung für einen Sprung des Sollwertes aus dem Frostschutzmodus 5 °C zum Betriebsmodus 20 °C dargestellt.
Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell ohne Speicherfähigkeit der RaumwändeDie Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt rein statisch ohne gespeicherte Wärmeenergie der Gebäudewände.
Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied mit dem Verhalten der Zeitkonstante T = 0 zeigt die stationären Zustände der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an, die sich nach genügend langer Zeit einstellen. Der Übergang von den unteren Temperaturwerten zu den oberen Temperaturwerten ist zeitlich nicht real, weil zu jedem Wert der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur nicht die gespeicherte Wärme der Gebäudewände berücksichtigt ist.
Kommentar zur Abbildung der Simulation mit dem dritten Teilmodell mit Speicherfähigkeit der RaumwändeDie Berechnung des Abflusses der Wärmeenergie von den Anfangswerten zu den Endwerten erfolgt mit Berücksichtigung der gespeicherten Wärmeenergie der Gebäudewände.
Der Sollwertsprung erfolgt nach 200 Minuten. Das vereinfachte statische Teilmodell 3 als PT1-Glied für die Wärmespeicherfähigkeit der Raumwände mit der Zeitkonstante T = 500 Minuten zeigt das Verhalten des Anstiegs der Heizkörpertemperatur und der Raumtemperatur an. Dabei wird deutlich, dass die Raumtemperatur den Sollwert 20 °C bereits erreicht hat, während die Heizkörpertemperatur wegen der gespeicherten Wärmeenergie der Wände nur mit 45 °C gefordert wird. Erst nach ca. 2000 Minuten stellt sich die Heizkörpertemperatur von 60 °C als statisch ein, konstante Witterungseinflüsse vorausgesetzt.
Mathematische Methoden zur Beschreibung und Berechnung eines Regelkreises
Dieses Kapitel zeigt die Anwendung der Methoden der Regelungstechnik und der Systemtheorie für die Berechnung von dynamische Systemen und Regelkreisen. Dabei werden die Begriffe von Verfahren der Systembeschreibungen, Übertragungsfunktionen, lineare und nichtlineare Regelstrecken, zeitinvariante und zeitvariante Systeme, Zweipunktregler, mathematische Systemmodelle und numerische Berechnungen tangiert und Hilfen auf ausführliche Artikel bzw. deren Kapitel gegeben.
Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit mit einem bestimmten Zeitverhalten und hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang.
Modelle (Modellbildung) eines realen dynamischen Übertragungssystems werden mathematisch beschrieben durch:
* Differenzialgleichungen
* Übertragungsfunktion und Frequenzgang
* Zustandsraumdarstellung
* Numerische zeitdiskrete Beschreibung linearer Systeme (Differenzengleichungen) und nichtlinearer Systeme (Logische Befehle, Tabellenwerte)
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält.
5 Verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit DGL-en formal identisch darstellen.
Kommen Ableitungen nur bezüglich einer Variablen vor, spricht man von einer „gewöhnlichen Differentialgleichung“, wobei der Begriff „gewöhnlich“ bedeutet, dass die betrachtete Funktion nur von einer Veränderlichen abhängt. Mit gewöhnlichen DGL-en lassen sich viele dynamische Systeme aus Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben.
Eine lineare DGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es treten keine Produkte der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen auf; ebenso erscheint die gesuchte Funktion nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw.
Entstehung einer Differentialgleichung
Eine DGL ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion. Die Lösung einer DGL ist keine Zahl, sondern eine Funktion!
Beispiel elektrischer Schwingkreis: Spannungsbilanz: Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist Summe aller Spannungen einer Masche gleich Null.
Der Spannungsabfall am Widerstand R ergibt sich zu U
R = i · R. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung an der Induktivität U
L = L · di / dt. Der Ladestrom am Kondensator ist proportional der Spannungsänderung am Kondensator i(t) = C · dy / dt.
Die Anwendung des Maschensatzes führt zunächst zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung:
Setzt man in die DGL für i(t):
ein, dann ergibt sich die Schwingungsgleichung:
Es können Zeitkonstanten wie T
1 = R · C und T
2² = L · C eingeführt werden. Ersetzt man auch die in der Systembeschreibung übliche Darstellung der Eingangsgröße u(t) und Ausgangsgröße y(t), dann lautet die bekannte DGL für einen Reihenschwingkreis:
Grundlagen der Übertragungsfunktion als Systembeschreibung
Die am häufigsten dargestellte Systembeschreibung linearer zeitinvarianter Systeme ist die Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Frequenz s.
Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der Laplace-transformierten Ausgangsgröße
zur transformierten Eingangsgröße
:
Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z. B. Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert null. Unter dieser Bedingung, dass die Anfangsbedingungen der systembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt
gleich null sind, ist die Übertragungsfunktion des Systems gleich der Laplace-transformierten Differenzialgleichung des Systems.
In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (phasenminimalen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende drei Grundformen (Linearfaktoren) geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler (differenzierendes Verhalten) oder im Nenner (verzögernd, Integrierend) einer Übertragungsfunktion stehen:
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Typ Linearfaktor || Bedeutung im Zähler || Bedeutung im Nenner
|-
|
|| Differenzierer, D-Glied || Integrator, I-Glied
|-
|
|| PD-Glied || Verzögerung, PT1-Glied
|-
|
|| PD2-Glied: für 0 <
D < 1
mit konjugiert komplexen Nullstellen || Schwingungsglied PT2-Glied: für 0 <
D < 1
mit konjugiert komplexen Polen
|}
Dabei ist
T die Zeitkonstante,
s die komplexe Frequenz bzw. der Laplace-Operator,
D der Dämpfungsgrad. Die Zeitkonstanten im Frequenzbereich entsprechen einer dimensionslosen Zahl. Die unter Typ Linearfaktor bezeichneten Grundformen der Übertragungssysteme können im Nenner und Zähler einer Übertragungsfunktion G(s) stehen.
Allgemein wird ein dynamisches lineares Übertragungssystem durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Zur Vereinfachung und zum leichteren Verständnis wird die Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen. Dabei wird entsprechend dem Differentiationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch den Laplace-Operator s als komplexe Frequenz ersetzt. Entsprechend höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden durch s
n ersetzt.
Das Ergebnis wird nach Ordnung der Terme des sich ergebenen Polynoms als Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße als Übertragungsfunktion definiert. Über die Nullstellen-Bestimmung kann die Übertragungsfunktion als Polynom in Linearfaktoren zerlegt und direkt in der Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.
Tabelle sämtlicher vorkommenden Arten der regulären Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung: {| class="wikitable"
|-
| Übertragungsfunktion ?
G(s) ||
||
||
||
||
||
||
|-
| Übergangsfunktion ?
(Sprungantwort) || || || || || || ||
|-
! Benennung ? || P-Glied || I-Glied || D-Glied || PD
1-Glied || PT
1-Glied || PT
2-Glied || Totzeitglied
|}
Anmerkungen zur Übertragungsfunktion: * Der große Vorteil der Beschreibung linearer dynamischer Systeme als Übertragungsfunktionen mit den Linearfaktoren besteht darin, dass nur 6 leicht einzuprägende Grundformen des Systemverhaltens existieren, die sich zu größeren Systemformen zusammensetzen können. Die transzendente Form des Totzeitgliedes gehört nicht dazu, es sei denn, es wird als gebrochen-rationale Funktion dem Totzeitglied angenähert.
Auch im Zusammenhang mit anderen Systembeschreibungen wie die Differenzialgleichung, Differenzengleichung, Zustandsraumdarstellung und gemischten linearen und nichtlinearen Modellen ist die Benennung von Übertragungssystemen als Übertragungsfunktion von Vorteil, weil der Bekanntheitsgrad der Systemfunktion so hoch ist.
* Die Übertragungsfunktionen können beliebig als einzelne Übertragungssysteme in der Reihen- und Parallelschaltung eines Blockdiagramms zusammengefasst und algebraisch behandelt werden.
* Die dargestellten Übertragungsfunktionen mit D-Anteilen werden als "ideal" bezeichnet. Diese Systeme lassen sich "real" nicht ohne Kombination mit einem Verzögerungsglied (PT1-Glied) herstellen. Dabei muss die Zeitkonstante des Verzögerungsgliedes wesentlich kleiner sein, als die des D-Anteils.
Beispiel reales PD1-Glied mit TV » T:
Die numerische Berechnung von idealen D-Anteilen funktioniert mit Hilfe der Differenzengleichungen problemlos. Es können bei der Differentiation keine unendlich großen Flanken entstehen, weil über die Zeit Δt gerechnet wird.
Fazit: Bei der numerische Berechnung kompensiert ein ideales PD1-Glied ein PT1-Glied bei gleichen Zeitkonstanten vollständig zum Faktor 1.
* Die differenzierende Form der Übertragungsfunktion 2. Ordnung (PD2-Glied) mit konjugiert komplexen Nullstellen erlaubt bei gleichen Zeitkonstanten und gleichem Dämpfungsgrad die Kompensation des Verzögerungsgliedes 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen.
Anwendung: Vorfilter im Regelkreiseingang reduziert gedämpfte Schwingungen der Regelgröße und erlaubt damit eine höhere Kreisverstärkung.
* Die Übertragungsfunktionen
werden immer als gebrochen-rationale Funktionen geschrieben.
* Der Übertragungsfunktion eines Systems
kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes
multiplikativ angehängt werden zu
. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet. Beliebige algebraische Operationen mit einem Totzeitglied sind nicht erlaubt.
* Nichtreguläre Übertragungsfunktionen G(s) enthalten ein Minuszeichen in der Gleichung (= positive Nullstelle). Sie können durch eine positive Rückkopplung (= Mitkopplung) entstehen und verhalten sich monoton instabil. Durch eine beliebige Eingangserregung strebt die Ausgangsgröße eines instabilen PT1-Gliedes in Abhängigkeit von der Zeitkonstante T bis zu seiner natürlichen Begrenzung einen unendlich großen Wert an.
Beispiel der Schreibweise eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung mit dem Verstärkungsfaktor K:
Diese Art Gleichungen der Übertragungsfunktionen lassen sich algebraisch behandeln, gelten für lineare Systeme und beziehen sich auf zeitinvariantes Verhalten. Übertragungsfunktionen können mit beliebigen Linearfaktoren zu Regelstrecken und Regelkreisen algebraisch zusammengesetzt werden, solange kein Totzeitsystem enthalten ist. Ist ein Eingangssignal U(s) als Testsignal gegeben, kann mittels Transformationstabellen das Zeitverhalten des Ausgangssignals y(t) errechnet werden.
Übertragungsfunktionen als Blockstruktur im Signalflussplan
Übertragungssysteme können aus Teilsystemen als Blöcke zusammengefasst werden. Es gilt das Superpositionsprinzip. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge beliebig verschoben werden. Die Systemausgänge dürfen nicht durch nachfolgende Systemeingänge belastet werden (Rückwirkungsfreiheit).
*
Parallelschaltung:
Gleichung der Übertragungsfunktion der Parallelschaltung:
*
Reihenschaltung:
Gleichung der Übertragungsfunktion der Reihenschaltung:
*
Gegenkopplung oder Rückkopplung:
Gleichung der Übertragungsfunktion der Gegenkopplung:
* Bei einem Regelkreis, der in dem Gegenkopplungszweig kein statisches oder dynamisches Teilsystem enthält, wird das System G2(s) = 1.
Damit lautet die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises:
* Eine Mitkopplung ist eine positive additiv wirkende Rückführung des Signalausgangs auf den System-Eingang. Sie führt je nach Größe der Verstärkung von G1(s) zur monotonen Instabilität oder zu einem Hysterese-Effekt.
Gleichung der Übertragungsfunktion der Mitkopplung:
* Mit G1(s) als offener Regelkreis werden beliebige algebraische Zusammenführungen der Teilsysteme des Reglers und der Regelstrecke verstanden.
Lineare Regelstrecken
Lineare Systeme sind dadurch gekennzeichnet, dass der sogenannte Überlagerungssatz und der Verstärkungssatz gelten. Der Überlagerungssatz bedeutet, dass wenn das System mit den Zeitfunktionen f1(t) und f2(t) gleichzeitig erregt wird, auch die Systemantwort aus einer Überlagerung der Systemantwort von f1(t) und der Systemantwort von f2(t) gebildet wird.
Das Verstärkungsprinzip bedeutet, dass bei doppelter Amplitude der Eingangsfunktion die Systemantwort ebenso doppelt so groß ist.
Natürliche lineare Regelstrecken enthalten oft verzögernde, integrierende und mit Totzeit behaftete Teilsysteme.
Ein elektrischer Widerstands-Kondensator Tiefpass 1. Ordnung im rückwirkungsfreien Zustand mit der Zeitkonstante T = R·C wird durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben:
Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (PT1-Glied):
]
Für die Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungssytemen G(s) mit der Übertragungsfunktion müssen die Eingangssignale (Testsignale) im s-Bereich definiert werden.
Für die Berechnung der Sprungantwort eines Systems im Zeitbereich lautet der normierte Sprung 1(t) als Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal U(s) = 1 / s.
Die Gleichung zur Berechnung des Zeitverhaltens des PT1-Gliedes kann direkt aus den Laplace-Transformations-Tabellen abgelesen werden:
Gesuchte Funktion im s-Bereich:
Zugehörige Funktion im Zeitbereich:
Der Faktor K unterliegt nicht der Transformation und ist deshalb im s-Bereich wie auch im Zeitbereich gültig.
Wird die korrespondierende Zeitfunktion einer Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten- oder Nullstellen-Darstellung in den Transformationstafeln ohne das Laplace-transformierte Eingangssignal gesucht, ist das Ergebnis immer die Impulsantwort des Systems.
Lineare RegelstreckenartenDie Zeitkonstante T besagt für ein Verzögerungsglied 1. Ordnung, dass ein Ausgangssignal nach einem Sprung eines Eingangssignals ca. 63 % des Wertes des Eingangssignals erreicht hat und sich der Signalverlauf asymptotisch - nach ca. 3 bis 4 Zeitkonstanten - an den Maximalwert des Eingangssignal annähert.
* Ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) verhält sich zeitinvariant, wenn für ein ansteigendes (Sprung) oder abfallendes (Rücksprung) Eingangssignal u(t) das Zeitverhalten (Zeitkonstante) sich nicht ändert. Dies erklärt sich aus der zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
* Ein Verzögerungsglied 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen, z. B. ein gedämpftes Feder-Masse-System, wird als Schwingungsglied bezeichnet. Die Sprungantwort nähert sich je nach Dämpfungsgrad D mit ausklingender Schwingung dem maximalen Wert der Eingangsgröße an.
* Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern bezeichnet man als Regelstrecke mit Ausgleich, auch als globales (proportionales) P-Verhalten.
* Eine Regelstrecke mit mehreren PT1-Gliedern und einem I-Glied bezeichnet man als Regelstrecke mit globalem I-Verhalten.
* Eine totzeitbehaftete Regelstrecke mit Verzögerungsgliedern kann nicht beliebig algebraisch berechnet werden. Es sei denn, die Totzeit wird annäherungsweise als gebrochen-rationale Funktion mit Verzögerungsgliedern definiert.
Vorteil der Systembeschreibung mit Übertragungsfunktionen (ohne Totzeitverhalten)* Einfache algebraischen Berechnung beliebiger Systemverknüpfungen aller Einzelsysteme möglich
* Regelkreisglieder des Reglers und der Regelstrecke der offenen Kreises können zu einem Regelkreis geschlossen werden. Die sich daraus ergebenden Polynome können in Pole und Nullstellen zerlegt werden und wieder als faktorielle Grundglieder (Linearfaktoren) meist in Zeitkonstanten-Darstellung geschrieben werden.
* Sämtliche Systemeigenschaften lassen sich aus der Pol-Nullstellendarstellung ablesen.
* Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" lässt die Stabilität des geschlossenen Regelkreises anhand der Einzelsysteme G(s) des offenen (aufgeschnittenen) Regelkreises bestimmen.
* Für ein bekanntes Laplace-transformiertes Test-Eingangssignal wie die Sprung- oder Stoßfunktion kann über die Anwendung von Laplace-Transformationstabellen das Zeitverhalten eines Einzelsystems oder eines Regelkreises berechnet und grafisch dargestellt werden.
* Reglerentwurf
Regelstrecken können vereinfacht werden, wenn durch PD1-Glieder des Reglers Verzögerungsglieder (PT1-Glieder) kompensiert werden.
Übertragungsfunktion und Frequenzgang
Die Übertragungsfunktion ist eine nicht messbare Funktion des Verhältnisses der Laplace-transformierten Ausgangsgröße zur Eingangsgröße. Sie kann jederzeit in den Frequenzgang bei identischen Koeffizienten (Zeitkonstanten) überführt werden.
Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion.
Im Gegensatz zur Übertragungsfunktion kann der Frequenzgang eines linearen Übertragungssystems gemessen werden, indem ein sinusförmiges Eingangssignal konstanter Amplitude mit variabler Frequenz das unbekannte System erregt und die Ausgangsgröße aufgezeichnet wird. Die Entstehungsgeschichten des Frequenzgangs und der Übertragungsfunktion sind unterschiedlich, die Schreibweisen können identisch bleiben.
Mit den grafischen Methoden "Ortskurve des Frequenzgangs" und dem "Stabilitätskriterium von Nyquist" kann auch das Totzeitverhalten eines Teilsystems behandelt werden, weil diese Verfahren sich auf den offenen Regelkreis beziehen.
Zeitinvariante und zeitvariante Regelstreckenkomponenten
Beispiel Gebäudeheizung: In einem geheizten Gebäude fließt der erzeugte Wärmestrom vom Heizkörper über die Raumluft zu den Gebäudewänden über die Isolierungen an die Außenwitterung. Die verschiedenen Wärmeströme zwischen den Massen und zugehörigen Isolierungen haben je ein bestimmtes Zeitverhalten, das für eine Analyse der gesamten Regelstrecke zu definieren ist.
ZeitinvarianzBei den bisher dargestellten dynamischen Systemen handelt es sich um zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern.
Ein dynamisches Übertragungssystem ist zeitinvariant, wenn es sich über die Zeit nicht ändert. D. h. die Systemantwort y(t+t
0) auf ein identisches Eingangssignal u(t+t
0) ist von t
0 unabhängig. Die Koeffizienten der mathematischen Systembeschreibung sind konstant (zeitlich unveränderlich, invariant).
Ein zeitinvariantes Verzögerungsglied (PT1-Glied) verhält sich für einen Signaleingangssprung wie auch für den Signalrücksprung identisch, d. h. es strebt immer asymptotisch beim Ansprung den Maximalwert oder beim Rücksprung den Anfangswert mit gleicher Zeitkonstante an.
ZeitvarianzFür die Beschreibung eines dynamischen Systems z. B. bei einem Wärmestrom in einem homogenen Materialstoff (Wasser, Luft, Stein) handelt es sich um ein System mit räumlich verteilten Energiespeichern.
Ein zeitvariantes System verhält sich zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich. Bei technischen Systemen liegt der Grund dafür meist in zeitabhängigen Parameterwerten, zum Beispiel durch Änderung der Koeffizienten der Energiespeicher [zeitabhängige Koeffizienten der Ableitungen y(t)].
Bei vielen Prozessen sind die Auswirkungen der Zeitvarianz so klein oder langsam, dass diese Systeme näherungsweise als zeitinvariant behandelt werden können.
Die den Übertragungsfunktionen zugehörigen gewöhnlichen Differenzialgleichungen haben konstante Koeffizienten. Konstante Koeffizienten bedeuten, dass sich das Zeitverhalten des Systems nicht ändert. Wird z. B. das Zeitverhalten einer beschleunigten Masse beschrieben und es handelt sich um eine beschleunigte Rakete, die ihre Masse ändert, so handelt es sich um einen zeitvarianten Vorgang.
Mathematisches zeitvariantes Modell des Wärmeflusses in einem homogenen Medium z. B. Luft
Das Übertragungsverhalten eines Signalsprungs in einem räumlichen homogenen Medium (Materialstoff) zeigt sich in seinem zeitlichen Verhalten zwischen zwei Messpunkten angenähert als Verzögerungsglied 1. Ordnung mit einer Totzeit und unterschiedlichen Zeitkonstanten.
Das mathematische Modell für den Wärmefluss in einem homogenen Medium lässt sich nach der Aufzeichnung der Sprungantwort durch ein einfaches Modell mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied annähern. Die Parameter der Ersatztotzeit
und der Ersatzzeitkonstanten
können anhand eines aufzuzeichnenden Messprotokolls experimentell bestimmt werden.
Für eine Gebäudeheizung wird berücksichtigt, dass die Aufheizung des Kessels schnell und die Abkühlung wegen der Wärmeisolierungen langsam erfolgt. Das Gleiche gilt für den Energieabfluss vom Heizkörper an die Raumluft und über die Wände an die Außenwitterung. Solche Systeme verhalten sich zeitvariant, d. h. für einen Signalsprung hat das System eine andere Zeitkonstante als für einen Signal-Rücksprung. Je besser die Isolierung eines aufgeheizten Mediums ist, um so unterschiedlicher sind die Zeitkonstanten für die Aufheizung (klein) und der Wärmeabfluss (groß).
Falls die Darstellung der Totzeit mit dem Rechenprogramm Probleme bereitet, kann die dargestellte Modellgleichung auch praktisch identisch durch eine sehr gute Annäherung mit Ersatztotzeiten durch z. B. n = 3 PT1-Glieder wie folgt dargestellt werden:
Nichtlineares Übertragungssystem
Die lineare Systemeigenschaft ist häufig nicht gegeben, da viele zusammenwirkende Systeme z. B. in der Regelungstechnik bei Ventil-Kennlinien, Stellgrößenbegrenzungen oder Schaltvorgängen keine Linearität aufweisen.
Ein nichtlineares System kann entweder in Form nichtlinearer statischer Kennlinien oder in Form nichtlinearer Operationen wie Multiplikation oder Division von Variablen in algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen auftreten.
Ein nichtlineares dynamisches System 2. Ordnung entsteht beispielsweise durch ein Feder-Masse-Dämpfer-System, wenn das Federsystem oder der Dämpfer ein nichtlineares Verhalten hat. Anhand der Vielzahl der Formen nichtlinearer Systeme ist es schwierig, diese in bestimmte Klassen einzuordnen. Nichtlineare Systeme kann man als einzigartig einstufen.
Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Diese nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden.
Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z. B. bei quadratischem Verhalten.
Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.
Das Prinzip der Superposition gilt nicht bei nichtlinearen Übertragungssystemen.
Folgende Beziehungen ergeben sich bei nichtlinearen Systemen:
* Wird ein nichtlineares Übertragungssystem in einem festen Arbeitspunkt betrieben, dann kann das nichtlineare Verhalten des Systems durch ein lineares Modell für die nähere Umgebung des Arbeitspunktes ersetzt werden.
* Jeder nichtlineare Zusammenhang kann im Kleinsignalverhalten näherungsweise linear beschrieben werden. Die Näherung wird umso besser, je kleiner der Differenzenquotient y(t) zu u(t) am Arbeitspunkt ist.
* Ist eine nichtlineare Funktion als grafische Kennlinie gegeben, dann kann durch Anlegen einer Tangente im gewünschten Arbeitspunkt die Steigung der Tangente für die linearisierte Beziehung bestimmt werden
* Ein nichtlineares dynamisches System mit kontinuierlich fallender oder steigender Kennlinie kann auch durch Einbindung in einen eigenen Regelkreis linearisiert und damit auch in seinem dynamischen Verhalten verbessert werden.
* Nichtlineare Differenzialgleichungen lassen sich meist nur numerisch lösen. Wenn ein Übertragungssystem in Teilsysteme zerlegt werden kann und das nichtlineare Verhalten einzelner Systeme als analytische Gleichung oder Wertetabelle vorliegt, kann relativ einfach das Verhalten eines nichtlinearen dynamischen Systems berechnet werden.
* Das Zusammenwirken von unstetigen, nichtlinearen, statischen Systemen mit linearen Systemen zu Regelkreisen kann mit dem grafischen Verfahren der Harmonischen Balance optimiert werden. Die Anwendung der Harmonischen Balance zur Analyse von nichtlinearen Regelkreisen mit dem anschaulichen Zwei-Ortskurven-Verfahren zeigt, wann Dauerschwingungen auftreten und wie sich Dauerschwingungen vermeiden lassen.
* Flachheitsbasierte Systeme
Flachheit in der Systemtheorie ist eine Systemeigenschaft, die den Begriff der Steuerbarkeit linearer Systeme auf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, das die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System.
Die Flachheitseigenschaft ist für die Analyse und Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie ist besonders vorteilhaft für die Trajektorienplanung und asymptotische Folgeregelung nichtlinearer Systeme.
Grundlagen der numerischen Berechnung von dynamischen Übertragungssystemen
Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Mit handelsüblichen Personal-Computern kann das Verhalten beliebig vermaschter Systemstrukturen mittels numerischer Berechnung relativ einfach ermittelt werden.
Für die Durchführung der Berechnung von Übertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekannten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
Alternativ können mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen bei Anwendung von Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Operatoren sehr effiziente Regelkreis-Simulationen durchgeführt werden. Dabei sind relativ geringe mathematische Kenntnisse erforderlich.
Treten Begrenzungseffekte im Regler oder Totzeitsysteme in der Regelstrecke auf, oder der Regler hat nichtlineare Eigenschaften wie der Zweipunktregler, kann das zeitliche Verhalten des Regelkreises nur numerisch mit der diskreten Zeit Δt berechnet werden. Auch die Berechnung von dynamischen Systemen mit dem Verfahren der Zustandsraumdarstellung ist mit einem Totzeitsystem nicht ohne numerische Berechnung möglich.
6Die numerische Berechnung erlaubt tabellarisch und grafisch eine völlige Durchsicht des inneren Bewegungsablaufs dynamischer Übertragungssysteme. In Verbindung mit logischen Programmbefehlen und Wertetabellen lassen sich nichtlineare, begrenzende und totzeitbehaftete Systeme simulieren.
Methode der numerischen Berechnung
Werden die Differenziale der Ausgangsgröße y(t) einer Differenzialgleichung durch kleine Differenzenquotienten
mit
als diskretisierte Zeit ersetzt, entsteht eine numerisch lösbare Differenzengleichung in Annäherung an die Differenzialgleichung. Zweckmäßig ist die Umwandlung linearer Elementarsysteme (Übertragungsfunktionen wie I-, PT1-, D-, PD1-Glieder) in Differenzengleichungen. Diese können je nach Lage der Funktionsblöcke im Signalflussplan mit nichtlinearen Systemen oder Systemen mit Totzeit und deren numerischen Berechnungsmethoden rekursiv behandelt werden.
Differenzengleichungen oder eine Kette von Differenzengleichungen, die mehrere hintereinander geschaltete Elementarsysteme beschreiben, lassen die Ausgangsgröße
algebraisch für einen kleinen Zeitschritt
in Abhängigkeit des Eingangssignals
errechnen. Die numerische Gesamtlösung des Systems erfolgt – bei einfachen Differenzengleichungen – rekursiv über viele Berechnungsfolgen in je kleinen konstanten Zeitintervallen. Die Form der Gesamtlösung ist damit tabellarisch. Alle Zeilen enthalten die gleichen Differenzengleichungen der Berechnungsfolge k = 1, alle Spalten berechnen die Folgen
. Die Zeile mit k = 0 ist Anfangswerten vorbehalten. Der gesamte betrachtete Zeitraum der numerischen Lösung beträgt
. Die Ausgangsgröße
folgt in Amplituden-Stufen im zeitlichen Abstand Δt einer jeden Berechnungsfolge.
Differenzengleichungen linearer Systeme
Mit Hilfe der Systembeschreibungen als Übertragungsfunktionen G(s) ist die Anzahl der wenigen verschiedenen Elementarsysteme (Linearfaktoren im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion) festgelegt. Dafür existieren aus den zugehörigen systembeschreibenden Differenzialgleichungen die daraus abgeleiteten Differenzengleichungen.
Die einfachsten Differenzengleichungen entstehen nach dem "Eulerschen Streckenzugverfahren" (auch Rechteckverfahren). Andere Methoden bedienen sich zur besseren Approximation z. B. an Stelle des Rechteck-Verfahrens (Explizites Eulerverfahren) des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Runge-Kutta-Verfahren) und anderer Verfahren.
Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit Reduzierung der Rekursionsfolgen, was bei langsamen Rechnern bei Echtzeitberechnungen erforderlich sein kann.
Mit der nachfolgenden Aufstellung der Differenzengleichungen der Übertragungsglieder G(s) erster Ordnung lassen sich alle linearen Systeme höherer Ordnung - auch Systeme mit konjugiert komplexen Polen - nachbilden. Differenzengleichungen lassen sich mit jeder Programmiersprache anwenden. Empfohlen wird die Verwendung der Tabellenkalkulation, weil Programmfehler damit ausgeschlossen sind.
Zugehörige Differenzengleichungen von Übertragungssystemen G(s) erster Ordnung: {| class="wikitable center"
|-
! Elementarsysteme
| P-Glied || I-Glied || D-Glied || PD
1-Glied || PT
1-Glied
|-
! Übertragungsfunktion
|
||
||
||
||
|-
! Differenzengleichungen
|
||
||
||
||
|}
(Mit K = Verstärkungsfaktor,
= aktuelle Ausgangsgeöße,
= vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante,
= aktuelle Eingangsgröße)
Nichtlineare statische Systeme
Die tabellarische Form der numerischen Lösung erlaubt auch die Berechnung nichtlinearer statischer Systeme, indem die nichtlineare Beziehung als Wertetabelle der Tabellenspalte der Berechnungsfolge k zugeordnet wird. Ebenso ist die Berechnung der Totzeit eines Systems durch Verschiebung der Zeilen mit geeigneten Programmbefehlen möglich.
Bei nichtlinearen Systemen wie dem unstetigen statischen Mehrpunktregler besteht die numerische Beschreibung aus einfachen nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-DANN-SONST-Anweisung erfolgen.
Nichtlineare unstetige statische Kennlinien, die nicht über analytische Gleichungen beschrieben werden können, lassen sich als Wertetabellen innerhalb der Gesamttabelle einfügen.
Die numerische Berechnung nichtlinearer Funktionen ist auch bei statischen Systemen ohne Zeitverhalten anwendbar, wenn z.B. das Intervall auf die Systemeingangsgröße
bezogen wird.
Anwendung der numerische Berechnung
*
Simulation dynamischer SystemeHäufig interessiert bei einer Regelung zur Erkennung der Regeleigenschaften das Verhalten der Regelgröße durch eine sprunghafte Änderung des Sollwertes. Ebenso interessiert das Verhalten der Regelgröße bei einer sprunghaften oder stetigen Änderung einer Störgröße. Übliche Systemtests von beliebigen physikalischen Regelgrößen von Regelkreisen beziehen sich auf ein Eingangssignal z. B. bei einer Sollwertänderung für einen bestimmten Zeitpunkt auf ein sprungartiges, normiertes Eingangssignal von Null bzw. von der Ruhelage nach 1 = 100 %. Analysiert wird das Verhalten der Sprungantwort, ob es sich in den gewünschten Grenzen bewegt.
Mit der Simulation eines mathematischen Modells eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises ergibt sich die Möglichkeit, mit geeigneten Testsignalen eine Systemanalyse oder eine Systemoptimierung durchzuführen.
Der Vorteil der Simulation an einem Modell liegt auf der Hand. Es werden keine technischen Anlagen gefährdet bzw. benötigt. Der Zeitfaktor spielt keine Rolle, es können sehr schnelle oder sehr langsame Prozesse optimiert werden. Voraussetzung ist die mathematische Beschreibung eines gut angenäherten Modells der meist technischen Regelstrecke.
Zur numerischen Berechnung des Zeitverhaltens regelungstechnischer Anlagen mit Totzeit existieren bezüglich der Analyse und Optimierung von Systemen bei Anwendung kommerzieller Programme oder einfacher Programme mit Differenzengleichungen keine anderen Alternativ-Verfahren.
*
Digitale Regelung onlineBei Echtzeitberechnungen, beispielsweise mit einem programmierbaren digitalen Regler, der auf eine Hardware-Regelstrecke wirkt, wird die Diskretisierungszeit ?t durch die "Abtastzeit" (häufig TA) ersetzt, mit der die meist analogen Eingangs- und Ausgangssignale der Regelstrecke über Analog-Digitalwandler erfasst wird. Der Abtastung der Eingangs- und Ausgangssignale ist üblicherweise ein Halteglied (Sample-and-Hold-Verfahren) nachgeschaltet, so dass ein gestufter Verlauf der Eingangs- und Ausgangssignale entsteht.
Bei schnellen Regelstrecken spielen die Systemgeschwindigkeiten des Rechners, der A/D-Wandler, die Sample-and-Hold-Schaltung, wie auch die verwendeten Differenzengleichungen beziehungsweise deren Approximations-Algorithmen eine große Rolle.
*
Anfangswerte der inneren Energiespeicher eines dynamischen Systems Anfangswerte eines dynamischen Systems bedeuten, dass die inneren Systemspeicher zum Zeitpunkt t0 nicht den Wert Null haben. Mit Differenzengleichungen von dynamischen Systemen kann auch der Anfangswert der Ausgangsgröße y(t) bzw. y(k•Δt) berechnet werden, indem alle Verzögerungen den gleichen Anfangswert bekommen.
Für die Berechnung der Anfangswerte y0 von Ableitungen von y(t) (z. B. ) ist die direkte Anwendung einer Differenzengleichung einer Reihenschaltung von Verzögerungsgliedern nicht brauchbar. Das Ergebnis wäre die partikuläre Lösung für Anfangswerte = Null. Derartige Berechnungen mit Anfangswerten können nach der Regelungsnormalform des Zustandsraumes mittels Differenzengleichungen erfolgen.
Ein Zustandsraummodell symbolisiert die überführte Differenzialgleichung n-ter Ordnung in n-gekoppelte Zustands-Differentialgleichungen erster Ordnung.
Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem dynamischen System enthaltenen Speicherelemente.
Die numerische Berechnung bezieht sich dabei auf den Signalflussplan der Regelungsnormalform des Zustandsraumes. Die systembeschreibende Differenzialgleichung wird in expliziter [geordneter, nach der höchsten Ableitung y(t)] Darstellung in ein Signalflussdiagramm gebracht, wobei die Anzahl der Ableitungen von y(t) die Anzahl der Integratoren bestimmen. Die Regelungsnormalform ähnelt signaltechnisch der elektrischen Schaltung eines Analogrechners zur Lösung einer Differenzialgleichung mit Anfangswerten.
Die Integratoren der Regelungsnormalform werden auf die gewünschten Anfangswerte gesetzt. Die System-Ausgangsgröße y(t) entspricht immer der Addition der homogenen und partikulären Lösung der systembeschreibenden Differenzialgleichung.
Berechnung eines linearen dynamischen Systems mit und ohne Anfangsbedingungen
In der Regelungstechnik werden häufig Übertragungssysteme durch Aufzeichnung der Sprungantwort der Ausgangsgröße gegenüber dem Wert Null bzw. einer Ruhelage analysiert. Dabei wird meistens vorausgesetzt, dass sich das System in Ruhe befindet. Es gibt aber Anwendungen, bei denen die Speicher "Anfangswerte" haben oder das System bei Anfangswerten getestet werden soll, um spezielle Aussagen zu treffen.
Anfangsbedingungen können sich auf Werte von Signalen beziehen, mit denen ein dynamischen Prozess gestartet wird. Sind als Anfangsbedingungen die Werte der inneren Systemspeicher eines dynamischen Systems gemeint, dann handelt es sich um ein sogenanntes Anfangswertproblem. Ist die Übertragungsfunktion G(s) bekannt, kann durch die inverse Laplace-Transformation auf die zugehörige gewöhnliche Differenzialgleichung geschlossen werden.
Klassische, analytische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung* Die partikuläre Lösung der Differenzialgleichung beschreibt das Übertragungsverhalten von y(t) für u(t) ? 0 als erzwungene Bewegung. Lösungen für Differenzialgleichungen g(t) sind durch das Faltungsintegral oder bei Übertragungsfunktionen G(s) durch Anwendung der Laplace-Transformationstabellen möglich.
* Die homogene Lösung der Differenzialgleichung beschreibt das Systemverhalten mit Anfangswerten der Systemspeicher zum Zeitpunkt t = 0 und dem Eingangssignal u(t) = 0. Mit dem Lösungsansatz